Trigonometri sma

 

A.   PERSAMAAN TRIGONOMETRI

1.    Sin x = Sin p

X₁ = p + k.360               atau    x₁ = p + k.2 π

X₂ = (180 – p) + k.360              x₂ = (π - p) + k.2π

2.    Cos x = Cos p

X₁ = p + k.360       atau     x₁ = p + k.2π

X₂ = -p + k.360      atau     x₂ = -p + k.2π

3.    Tan x = Tan p

X₁ = p + k.180              atau     x₁ = p + k.π

         

          Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian :

          a. Sin x = Sin 20⁰   ; 0 ≤ x ≤ 360^o 

              x₁ = 20 + k.360 ,   untuk k = 0         x₁ = 20

                                                   k = 1         x₂ = 20 + 360

                                                                        = 380 (tidak memenuhi)

              X₂ = (180 – 20) + k.360,  untuk k = 0        x₂ = 160

               Jadi HP = {20, 160}

          b. 2 Cos x =  √3     ;  0 ≤ x ≤ 360^o

                Cos x =1/2√3

                Cos x = Cos 30

              X₁ = 30 + k.360 ,  untuk k = 0        x₁ = 30

               X₂ = -30 + k.360 ,  untuk k = 0        x₂ = - 30 (tidak memenuhi)

                                                    K = 1       x₂ = 330

               HP = {30, 330}

TUGAS

1.    Selesaikan persamaan berikut untuk 0 ≤ x ≤ 360^o 

a.    Cos x = Cos 50

b.    Sin x – ½ = 0

c.    3 tan 2x +√3  = 0

d.    2 cos x.sin x = sin x

2.    Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 2π

a.    2 sin x = - 2

b.    2 tan 3x + 2 = 0

c.    2 cos ½ x = 1

B.   IDENTITAS TRIGONOMETRI

Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :

1. Sin²x + Cos²x = 1

     Sin²x = 1 – Cos²x

     Cos²x = 1 – Sin²x

2. 1 + tan²x = sec²x

     1 = sec²x – tan²x

     Tan²x = sec²x – 1

3. 1 + cotg²x = cosec²x

     1 = cosec²x – cotg²x

     Cotg²x = cosec²x – 1

 

Contoh :

1. Buktikan bahwa 5 tan²x + 4 = 5 sec²x – 1

     Jawab   :

     5 tan²x + 4 = 5 (sec²x – 1) + 4

                      = 5 sec²x – 5 + 4

        = 5 sec²x – 1   (terbukti)

2. Buktikan bahwa 3 cos²x + 3 sin²x = 3

     Jawab  :

     3 cos²x + 3 sin²x = 3 (cos²x + sin²x)

                              = 3 . 1

                              = 3     (terbukti)

SOAL

1.      Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukanhimpunanpenyelesaiandari sin x = ½.

2.      Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukanhimpunanpenyelesaiandari sin (x − 30) = ¹/₂ √3.

3.      Himpunanpenyelesaianpersamaan2cos ²x − 3 cos x + 1 = 0untuk 0 < x < 2π adalah…
A. {π/6, 5π/6}
B. {π/6, 11π/6}
C. {π/3, 2π/3}
D. {π/3, 5π/3}
E. {2π/3, 4π/3}

4.      Himpunanpenyelesaianpersamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…..