Materi Kinematika dengan Analisis Vektor

MATERI KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

GERAK LURUS

Vektor satuan.

• Vektor yang mengarah sumbu x satuannya i.
• Vektor yang mengarah sumbu y satuannya j.
• Vektor yang mengarah sumbu z satuannya k.

Secara umum, besaran gerak (Posisi, Kecepatan dan Percepatan) diuraikan atas dua komponen yang saling tegak lurus.

Ø  POSISI r = x i +  y j m

pada benda yang memiliki koordinat ( x , y)

Vektor posisi

Dengan r adalah vektor posisi, x menyatakan titik koordinat pada sumbu x dan y adalah titik koordinat pada sumbu y.

Vektor perpindahan

Perpindahan adalah perubahan posisi suatu partikel dalam selang waktu tertentu.

Dengan Δr menyatakan vektor perpindahan dan r₁ dan r₂ menyatakan vektor posisi pertama dan kedua.

Contoh :

Sebuah partikel berada pada koordinat (3,2) meter, maka penulisan persamaan posisinya adalah

r = x i +  y j m

r = 3 i +  2 j   m
Ø  KECEPATAN v = v_x i + v_y j m/s

pada benda yang memiliki kecepatan ( v_x , v_y)

Vektor kecepatan rata-rata

Adalah hasil bagi antara vektor perpindahan (Δr) dengan selang waktu (Δt).

Dengan v_r = vektor kecepatan rata-rata.

Vektor kecepatan sesaat

Adalah turunan pertama dari fungsi posisi (r) terhadap waktu (t).

Contoh :

Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan (4,1) m/s, maka penulisan persamaan kecepatannya adalah

v = v_x i + v_y j m/s

v = 4 i +     j m/s

Ø PERCEPATAN a = a_x i + a_y j m/s²

pada benda yang memiliki kecepatan ( a_x , a_y)

Vektor percepatan rata-rata

Adalah perubahan kecepatan (Δv) dalam selang waktu (Δt) tertentu.

Vektor percepatan sesaat

Adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan (v) terhadap waktu (t).

Contoh :

Sebuah partikel bergerak dengan percepatan(5,3) m/s², maka penulisan persamaan percepatannya adalah

a = a_x i + a_y j m/s²

a = 5 i +  3  j m/s²

Bagaimana bila partikel berpindah posisi dari titik P(3,2)m menuju ke titik Q(5,5)m ?

Perpindahan adalah perubahan posisi/kedudukan suatu partikel dalam selang waktu tertentu dimana titik awal P dan titik akhir Q

Maka perpindahan partikel memenuhi persamaan :

Δr = r_Q – r_P

Δr = (x₁i + y₁j) – (x₂i + y₂j)  meter

Δr = (x₂i – x₁i) + (y₂j – y₁j)  meter

atau Δr = Δx i  + Δy j

sehingga

Δr = (5i + 5j) – (3i + 2j) meter

Δr = (5i – 3i) + (5j – 2j) meter

Δr =  2i +  3j meter

Berapa besar perpindahannya ?

Δr² = (2i)² +  (3j)² meter

Δr² = 4.i² +  9.j² meter karena  i² = 1 dan j² = 1 maka

Δr² = 4  +  9

Δr = (4  +  9)^½ atau √ 13

Penggunaan Operasi Integral Dan Diferensial/Turunan

Posisi (r), Kecepatan (v) dan percepatan (a) dengan penyelesaian matematis menggunakan diferensial/turunan dan integral bisa didapatkan bila salah satu variable diketahui persamaannya.
Lihat Diagram berikut !

• Bila r diketahui, maka v dan a dapat dicari dengan diferensial/turunan, demikian juga bila v diketahui a didapat dari penurunan v
• Bila diketahui, maka persamaan kecepatan (v) dan posisi (r) dapat ditentukan dengan integral, demikian pula bila v diketahui, posisi dapat diselesaikan.

RUMUS DIFERENSIAL DAN INTEGRAL
DIFERENSIAL/TURUNAN
Bila posisi
r =  tⁿ
maka persamaan kecepatan
v = dr/dt
v = d(tⁿ)/dt
v =  n.t^n-1
Demikian pula bila, kecepatan
v =  2tⁿ
maka persamaan percepatan
a = dv/dt
a = d(2.tn)/dt
a =  2.nt^n-1
INTEGRAL
Bila percepatan
a  =  tⁿ
maka persamaan kecepatan
v = ∫ a dt
v = ∫ tⁿ dt
v = (1/(n+1))x t ⁿ⁺¹ + c

Menentukan vektor posisi dari vektor kecepatan

Menentukan vektor kecepatan dari vektor percepatan

 

GERAK MELINGKAR

Posisi sudut (θ) dan perpindahan sudut (Δθ)

Dengan Δθ menyatakan perpindahan sudut, θ₁ dan θ₂ menyatakan posisi sudut pertama dan kedua.

Kecepatan sudut rata-rata

Adalah hasil bagi antara perpindahan sudut (Δθ) dengan selang waktu (Δt).

Kecepatan sudut sesaat

Adalah turunan pertama dari fungsi posisi sudut (θ) terhadap waktu (t).

Vektor percepatan sudut rata-rata

Adalah perubahan kecepatan sudut (Δω) dalam selang waktu (Δt) tertentu.

Vektor percepatan sudut sesaat

Adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut (ω) terhadap waktu (t).

Menentukan posisi sudut dari kecepatan sudut

Menentukan kecepatan sudut dari percepatan sudut

 

GERAK PARABOLA

Waktu untuk mencapai ketinggian maksimum

Ketinggain maksimum

Jangkauan maksimum/jarak mendatar.

Keterangan:
t = waktu mencapai ketinggian maksimum (s).
v₀ = kecepatan awal (m/s).
θ = sudut elevasi.
g = percepatan gravitasi (10 m/s²).
h = ketinggian maksimum.
x = jangkauan/jarak mendatar (m).

Uraian di atas merupakan rangkuman materi kinematika dengan analisis vektor kelas XI SMA, semoga bermanfaat ...